Диагонально неявные методы Рунге-Кутты

В общем случае метод Рунге-Кутты задается формулами

и может быть представлен в виде таблицы Бутчера

c A =
bT

Часто приводят также формулу

которая используется для получения оценки погрешности численного решения

В этом случае в таблицу добавляется строка коэффициентов i.

В явном методе ai,j = 0 при j ≥ i, тогда формулы (*) задают расчетный алгоритм, который может быть непосредственно реализован. В противном случае метод является неявным и требует при своей реализации решения системы алгебраических уравнений. Среди неявных методов Рунге‑Кутты наиболее просто реализуются диагонально неявные (DIRK – Diagonally Implicit Runge‑Kutta), у которых матрица A имеет нижнюю треугольную форму.

В SimInTech реализованы три метода DIRK, имеющие таблицу Бутчера вида

Эти методы имеют явную первую стадию и r = s – 1 неявных стадий с одинаковыми диагональными элементами матрицы A, поэтому их обычно называют ESDIRK (Explicit first stage Singly DIRK). Явная стадия не требует вычислений, поскольку результат ее выполнения совпадает с последней стадией предыдущего шага. Такие методы называют иногда также FSAL-DIRK (First Same As Last). Преимущество методов вида (3.4) по сравнению с другими методами DIRK состоит в том, что они являются жестко точными и могут иметь второй стадийный порядок [7, 8].